Instantaneous Tendencies in Prigogine & Stengers Order out of Chaos / La Nouvelle Alliance

by Corry Shores
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Instantaneous Tendencies

in

Prigogine & Stengers

Order out of Chaos: Man's New Dialogue with Nature

La Nouvelle Alliance: Métamorphose de la science

How can a continuously varying speed be defined? How can we describe the instantaneous changes in the various quantities, such as position, velocity, and acceleration? How can we describe the state of a body at any given instant? To answer these questions, mathematicians have introduced the concept of infinitesimal quantities. An infinitesimal quantity is the result of a limiting process; it is typically the variation in a quantity occurring between two successive instants when the time elapsing between these instants tends toward zero. In this way the change is broken up into an infinite series of infinitely small changes.

At each instant the state of a moving body can be defined by its position r, by its velocity v, which expresses its "instantaneous tendency" to modify this position, and by its acceleration a, again its "instantaneous tendency," but now to modify its velocity. Instantaneous velocities and accelerations are limiting quantities that measure the ratio between two infinitesimal quantities: the variation of r (or v) during a temporal interval Δt, and this interval Δt when Δt tends to zero. Such quantities are "derivatives with respect to time," and since Leibniz they have been written as v = dr/dt and a = dv/dt. Therefore, acceleration, the derivative of a derivative,

,

becomes a "second derivative." (57-58b)

Comment décrire une vitesse qui varie de manière continue? Comment décrire l'évolution, d'instant en instant, des diverses grandeurs, positions, vitesse, accélération, qui caractérisent l'état instantané d'un mobile? Les mathématiciens ont introduit le concept de quantité infinitésimale pour répondre à de telles questions. Une quantité infinitésimale résulte d'un passage à la limite, c'est la variation d'une grandeur entre deux instants successifs lorsque l'intervalle entre ces deux instants tend vers zéro. La description infinitésimale peut ainsi décomposer le changement en une série infinie de changements infiniment petits, alors que, précédemment, on ne pouvait le décrire que comme le résultat d'un nombre fini de transitions de grandeur finie juxtaposées comme les perles d'un collier.

En chaque instant la description de l'état d'un mobile comprend non seulement sa position, que nous noterons r, mais encore sa « tendance instantanée » à changer de position, c'est-à-dire sa vitesse v en et instant, et sa tendance à modifier cette vitesse, c'est-à-dire son accélération a. Vitesse et accélération instantanées sont des « concepts limites » mesurant une variation instantanée comme le rapport entre deux quantités infinitésimales : la variation de la grandeur position ou vitesse, pendant un intervalle de temps Δt qui tend vers zéro, et cet intervalle Δt lui-même. On appelle de telles grandeurs des « dérivées par rapport au temps ». On écrit, depuis Leibniz, v = dr/dt. Quant à l'accélération, a = dv/dt =

dérivée d'une dérivée, c'est une dérivée « seconde ». (65-66bc)

Prigogine, Ilya, and Isabelle Stengers. Order out of Chaos: Man's New Dialogue with Nature. London: Heinemann, 1984.

Prigogine, Ilya, and Isabelle Stengers. La Nouvelle Alliance: Métamorphose de la science. Paris: Éditions Gallimard, 1979.